第四章 几何图形初步

第二节 直线、射线、线段

【学习目标】

1．理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系；

2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题；

3．利用线段的和差倍分解决相关计算问题．

【要点梳理】

要点一、直线

1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．

2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示。

（2）也可以用一个小写英文字母表示。

3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．

要点诠释：

直线的特征：

（1）直线没有长短，向两方无限延伸．

（2）直线没有粗细．

（3）两点确定一条直线．

（4）两条直线相交有唯一一个交点．

4.点与直线的位置关系：

（1）点在直线上

（2）点在直线外

要点二、线段

1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．

2.表示方法：

（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如：线段AB或线段BA．

（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如线段a．

3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：

法一：用圆规作一条线段等于已知线段．

法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．

4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．

要点诠释：

（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．

（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．

（3）线段的比较：

①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．

②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．

5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．

要点三、射线

1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．

2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．

3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面。

（2）也可以用一个小写英文字母表示。

要点诠释：

(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．

(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线。

要点四、直线、射线、线段的区别与联系

1.直线、射线、线段之间的联系

（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．

（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．

例 如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE(正方形四条边都相等，四个角都是直角)．我们探究下列图中线段BG、DE的长度关系及所在直线的位置关系.

(1) 猜想图1中线段BG和DE的关系：_________________．

(2) 将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断上述猜想是否仍然成立：_______(填“成立”或“不成立”).若成立，请你选取图2或图3中的一种情况说明你的判断．

解析

(1) 有公共顶点的正方形，一般存在全等三角形.

(2) 线段关系一般有两种：数量关系、位置关系。

(3) 图1证明过程：

由正方形ABCD得：BC＝CD，∠1＝90°.

由正方形CEFG得：CE＝CG，∠2＝90°.

∴∠1＝∠2，∴△BCG≌△DCE，∴BG＝DE，∠3＝∠4.

∵∠5＝∠3＋∠1＝∠4＋∠DMG（“8字形”），

∴∠DMG＝∠1＝90°，即BG⊥DE.

(4) 变化的图形问题，可以依照变化前的方法解决。图2、图3由图1变化而来，所以可以仿照图1的方法解决.

答案

(1) BG＝DE，BG⊥DE；

(2) 成立.

①图2：由正方形ABCD得：BC＝CD，∠1＝90°.

由正方形CEFG得：CE＝CG，∠2＝90°.

∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BCG＝∠DCE.

∴△BCG≌△DCE，∴BG＝DE，∠4＝∠5.

∵∠6＝∠4＋∠1＝∠5＋∠DOH，

∴∠DOH＝∠1＝90°，即BG⊥DE.

②图3：延长DE交直线BG于点M.

由正方形ABCD得：BC＝CD，∠BCD＝90°.

由正方形CEFG得：CE＝CG，∠GCE＝90°.

∴∠BCD＝∠GCE，∴∠BCD －∠3＝∠GCE －∠3，即∠1＝∠2.

∴△BCG≌△DCE，∴BG＝DE，∠4＝∠5.

∵∠6＝∠4＋∠DMB＝∠5＋∠DCB，

∴∠DMB＝∠DCB＝90°，即BG⊥DE.

练习

1. 在锐角△ABC中，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE、ACFG，连接CE、BG.有下列结论：①BG＝CE；②BG⊥CE.下列说法正确的是( )．

A．①、②全正确

B．①正确、②错误

C．①、②全错误

D．①错误、②正确

解析

(1) 有公共顶点的正方形，一般存在全等三角形.

(2) 由正方形ABDE得：AE＝AB，∠1＝90°.

由正方形ACFG得：AC＝AG，∠2＝90°.

∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠EAC＝∠BAG.

∴△EAC≌△BAG，∴BG＝CE，∠4＝∠5.

∵∠6＝∠5＋∠1＝∠4＋∠BME，

∴∠BME＝∠1＝90°，即BG⊥CE.

答案　A

2. 已知：正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A， 点G、E分别在线段AD、AB上.

(1) 如图1， 连结DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题:“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请证明，若不正确请举反例说明；

(2) 若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转， 连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段(含重新连接两点得到)的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.

解析

(1) 顺时针旋转，在一定的范围内，DF逐渐变大，BF逐渐变小.

(2) 有公共顶点的正方形，一般存在全等三角形.

答案

(1) 如图，DF＞AD＝AB＞BF，即原命题错误.

(2) 连接BE，得BE＝DG.

由正方形ABCD得：AD＝AB，∠BAD＝90°.

由正方形CEFG得：AE＝AG，∠GAE＝90°.

∴∠BAD＝∠GAE，∴∠BAD －∠3＝∠GAE －∠3，即∠1＝∠2.

∴△ADG≌△ABE，∴DG＝BE.

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